The partition dimension of the vertex amalgamation of some cycles

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> be a connected, finite, simple, and undirected graph. The distance between two vertices <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , denoted by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , is the shortest length of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> -<i>path</i> in <i>G</i>. The distance between a vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> is defined as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>min</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo></mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , denoted by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> . For an ordered partition <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>}</mml:mo></mml:math> of the vertices of a graph <i>G</i>, the partition representation of a vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> with respect to Π is defined as the <i>k</i>-<i>vektor</i> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> . The partition set Π is called a resolving partition of <i>G</i>, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi></mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> . The partition dimension of <i>G</i> is the minimum number of sets in any resolving partition of <i>G</i>. In this paper we study the partition dimension of the vertex amalgamation of some cycles. Specifically, we present the vertex amalgamation of <i>m</i> copies of the cycle <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> at a fixed vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn></mml:math> .

Access to Document

Other files and links

• Link to publication in Scopus
• Open Access Version Available

Fingerprint